Nació en 1914 en Chivilcoy, hijo de dos inmigrantes de un pueblo llamado Mombasiglio, cerca de Cúneo en el Piamonte Italiano. Tuvo quince hermanos: María, Luis, Esteban, Angela, Vicente, Venancio, Juana, Ana Luisa, Angel Juan, Alberto, Rodolfo, Elvira, Cora, Néstor y Abel. A sus siete años su madre falleció, y a los 12 inició sus estudios secundarios en el Colegio Nacional de Chivilcoy.

Terminando sus estudios secundarios en 1933, se trasladó a la capital provincial La Plata, y realizó la carrera de médico en su Universidad. Allí además comenzó sus primeros acercamientos a la actividad política. Al recibirse en 1940, se trasladó a la ciudad de Trelew, en el aún Territorio Nacional de Chubut.

Se asentó en la región del Valle inferior del Río Chubut, en donde desarrolló su profesión durante la primera mitad de la década. En 1944 se casó con la maestra platense Hilda Magdalena Croce, con la cual tuvo dos hijos: Ricardo e Hilda Inés. En 1957 fue electo Presidente de la Cooperativa Eléctrica de Trelew, y también tendría ese cargo en el Club Huracán de Trelew (1952-1963).

Afiliado a la Unión Cívica Radical, su primer cargo público fue el de Intendente de Dolavon, designado por el gobernador del Territorio Ovidio Pracilio. Chubut se transformó en Provincia en 1955. En 1962 Viglione resultó electo como Gobernador de la joven Provincia, pero el golpe de Estado que derrocó al Presidente Arturo Frondizi ese año dejó sin efecto el resultado.

Restablecida la democracia, el 12 de octubre de 1963 asumió el cargo de Vicegobernador del Chubut, acompañando a Roque González, teniendo a cargo la Presidencia de la Legislatura Provincial. Ante el juicio político comenzado contra González, renunció a su cargo. En 1965 fue designado Senador, hasta quedar su cargo anulado por el golpe de Estado de 1966.

En 1972 adhiere al Movimiento de Renovación y Cambio encabezado por Raúl Alfonsín. En 1975 fundó junto a José María Sáez el "Diario El Chubut". También fue Director del Canal 3 de Trelew.

Luego del fin de la dictadura del Proceso de Reorganización Nacional, iniciada en 1976, se realizaron elecciones generales el 30 de Octubre de 1983, y Atilio Viglione fue electo Gobernador del Chubut por parte de la Unión Cívica Radical, al tiempo que Alfonsín llegó al cargo de Presidente de la Nación. Viglione asumió ese 11 de diciembre, acompañado por Juan Carlos Altuna. Fue el primero en terminar su mandato de manera normal en toda la historia de la Provincia.

El 11 de diciembre de 1987 fue sucedido por Néstor Perl.

En 1933 fue electo diputado por la Provincia del Chubut en el Congreso de la Nación, cargo que desempeñó hasta 1997. En ese ámbito recibió la distinción de "Mayor Notable Argentino".

En 2005, el gobernador justicialista Mario Das Neves impuso su nombre a la localidad de Las Pampas. También recibió distinciones como "Ciudadano Ilustre" (por parte de la Provincia del Chubut y luego de la Municipalidad de Trelew) y el Premio "Santa Clara de Asís".

Atilio Oscar Viglione falleció en la noche del 20 de marzo de 2010, a los 95 años.